Qu'est-ce que famille génératrice ?

En mathématiques, une famille génératrice est un ensemble de vecteurs qui permet de générer l'ensemble des vecteurs d'un espace vectoriel.

Plus précisément, soit V un espace vectoriel sur un corps K. Une famille {v_1,...,v_n} de vecteurs de V est dite génératrice de V si tout vecteur de V s'écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs v_1,...,v_n, c'est-à-dire qu'il existe des scalaires a_1,...,a_n de K tels que tout vecteur de V peut s'écrire sous la forme a_1 v_1 + ... + a_n v_n.

On peut également dire que la famille est libre si l'écriture précédente est unique. Si une famille est à la fois libre et génératrice, on parle alors de base de l'espace vectoriel.

Les familles génératrices sont donc utiles pour décrire l'ensemble des vecteurs d'un espace vectoriel en termes de quelques vecteurs clés. Elles sont notamment utilisées en algèbre linéaire, en géométrie vectorielle et en physique pour décrire les phénomènes liés aux forces et aux mouvements.